579

17

پ ر17

اعلائي، مريم

/ مريم اعلائي

كارشناسي ارشد

رياضي

دانشگاه صنعتي قم

دانشكده علوم پايه

1397

گرايش آناليز عددي

80ص.

فرنام، فرناز: سليماني، مهدي

آل عمران نژاد، سيد محمد علي

در فصل اول، به مبحث توابع متعامد مي پردازيم. اين توابع از بسط يك تابع بر حسب توابع ويژه بدست ميآيند كه اين توابع ويژه از مسئله ي مقدار ويژه، حاصل شده است. همچنين شكل كلي سري هاي فوريه ي سينوسي و كسينوسي مورد بررسي قرار ميگيرد. همچنين قضايا و خواص مهم كاربردي مرتبط با مباحث ارائه شده در اين پايان نامه نيز مطرح شده است. سري فوريه در رياضيات، روشي براي بيان يك تابع به صورت مجموع چندين موج سينوسي است. در واقع با استفاده از اين سري ميتوان يك تابع متناوب را به صورت حاصل جمع چندين تابع نوساني بيان كرد. اين توابع نوساني، ميتوانند به فرم سينوسي، كسينوسي و يا به فرم مختلط آنها بيان شوند. سري فوريه و تبديل فوريه به طور گسترده در علوم گوناگون، براي تحليل فيزيكي پارامترهاي رياضي، سادهسازي مسائل مختلف و حل آنها مورد استفاده قرار ميگيرد. مفهوم پايه در پيدايش سريهاي فوريه اين است كه توابع مختلف را ميتوان به كمك توابع سينوسي و كسينوسي بازنويسي كرد. اين مطلب به بررسي مفهوم سري فوريه و شيوه محاسبه آن در توابع متنوع ميپردازد. اين تابع به نام رياضيدان بزرگ فرانسوي، ژوزف فوريه نامگذاري شده است. توابع مورد استفاده در مهندسي و توابع نمايانگر سيگنالها معمولاً توابعي از زمان هستند يا به عبارت ديگر توابعي كه در ميدان زمان تعريف شده اند. براي حل بسياري از مسائل بهتر است كه تابع در دامنه فركانس تعريف شده باشد. زيرا اين دامنه ويژگيهايي دارد كه به راحتي محاسبات ميانجامد. با بسط هر تابع به صورت سري فوريه، مولفه هاي بسامدي آن تابع به دست مي آيد. سپس ميتوان محاسبات پيچيدهي حوزه زمان را به راحتي در حوزه فركانس انجام داد و با عكس تبديل فوريه به حوزه زمان انتقال داد. در فصل دوم، به مروري بر تعدادي از روشهاي بسط بر حسب پايههاي متعامد و روش حل خود سازگار براي حل معادله شرودينگر پرداختهايم. در فصل سوم، يك معادله شرودينگر يك بعدي غيرخطي را حل كرديم. به اين ترتيب كه ابتدا قسمت خطي معادله شرودينگر را بر حسب بسط سري فوريه سينوسي وكسينوسي حل كرديم و سپس براي حل قسمت غير خطي معادله از روش خودسازگار استفاده كرديم. و ويژه مقادير و ويژه توابع معادله را با كمك برنامه متلب بدست آورده، سپس ويژه مقادير آن را با ويژه مقادير ح

17